वास्तविक संख्याएँ |(Real Numbers)

प्रस्तावना (Introduction)


अब तक पूर्व कक्षाओं में हमने प्राकृत संख्याओं (Natural Numbers), पूर्णांकों (Integers), परिमेय एवं अपरिमेय (Rational and Irrational) संख्याओं पर संक्रियाओं के प्रयोग के बारे में प्रारंभिक अध्ययन किया है। 

यहाँ हम वास्तविक संख्याओं एवं उनसे सम्बन्धित गणित के मूल भूत सिद्धांतों तथा परिमेय एवं अपरिमेय संख्याओं के प्रमाण, सांत (Terminating), अवसानी (असात) आवृति (Non-terminating repeating) प्रकृति के बारे में विस्तृत अध्ययन करेंगे।

हम जानते है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक (positive Integer) को दो या दो से अधिक संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। 
हम संख्याओं के भागफल के बारे में भी जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं के भागफल के रूप में जो शेषफल (Remainder) आता है वह हर संख्या (Denominator) से कम होता है। 
यही महत्वपूर्ण तथ्य अंक गणित का आधार भूत प्रमेय है। 
इस अध्याय में हम हन्हीं गणितीय अवधारणाओं का उपयोग कर 2/3.15 आदि संख्याओं की अपरिमेयता के प्रमाण

स्थापित करेंगे तथा परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार के बारे में पढ़ेंगे। 

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका


  • यूक्लिड ग्रीक गणितज्ञ थे, ये ज्यामिति एवं संख्या सिद्धान्त पर किये कार्य के लिए जाने जाते हैं। 
  • इन्होंने वास्तविक संख्याओं के भागफल सम्बन्धित सिद्धान्त भी प्रतिपादित किये। 
  • संख्या गणित में यूक्लिड विभाजन विधि (कलन विधि) (Euclid's Division Algorithm), इनके द्वारा प्रतिपादित विभाजन प्रमेयिका पर आधारित है।



यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (विधि)


यहाँ हम यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका पर आधारित एक अन्य अनुप्रयोग युक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म (कलन विधि) का अध्ययन करेंगे। 
एल्गोरिथ्म शब्द 9 वीं शताब्दी के एक फारसी गणितज्ञ अल-ख्वारिजमी के नाम से लिया गया है।
 यह "एल्गोरिथ्म सुपरिभाषित चरणों की एक श्रृंखला होती है जो विशेष प्रकार की समस्या को हल करने की एक प्रक्रिया या विधि प्रदान करती है।

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म दो धनात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने की विधि है 

किन्हीं दो धनात्मक पूर्णाकों a एवं b का महत्तम समापवर्तक वह सबसे बड़ा पूर्णाक है जो तथा h दोनों को पूर्णतया विभाजित करता है। 
यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा महत्तम समापवर्तक (Highest common factor) ज्ञात करने के लिए निम्न चरणों में यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग किया जाता है।