बहुपद Polynomials


एक चर वाले बहुपदों एवं उनकी घातों (Degree) के बारे में हम पिछली कक्षा में पढ़ चुके हैं। 

हम जानते हैं कि चर के लिए बहुपद / (x) में x की उच्चतम घात बहुपद की घात कहलाती है एवं घात के आधार पर बहुपद की पहचान होती है कि यह रैखिक है. द्वितीय है या त्रिद्यातीय है। 

इस प्रकार व्यापक रूप में चर x के लिए /()= ar+b रैखिक,18 +bato

द्विघात एवं/mat+by+a+d एक त्रिघातीय बहुपद कहलाते हैं जहाँ abcd वास्तविक संख्याएँ तथा 0 है।
 इस प्रकार चर.x के लिए घातीय बहुपद निम्न प्रकार परिभाषित किया जाता है।

जहाँ '' एक प्राकृत संख्या है तथा वास्तविक संख्याएँ हैं। 
इस बहुपद के पद ( Terms ) कहलाते हैं तथा इन पदों के गुणांक (co-efficient) कहलाते हैं।

इस अध्याय में हम बहुपदों के शून्यको गुणांकों एवं विभाजन एल्गोरिथम का अध्ययन करेंगे। 
साथ ही द्विघातीय समीकरणों के हल एवं उनके मूलों की प्रकृति के बारे में पढ़ेंगे पिछली कक्षाओं में हमने वास्तविक संख्याओं के महत्तम समापवर्तक एवं लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात किये थे। 
यहाँ हम बीजीय व्यंजकों के लिए महत्तम समापवर्तक (HCF) तथा लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ज्ञात करेंगे।

वास्तविक गुणांकों वाले बहुपदों पर विभाजन एल्गोरिथम (कलन विधि) पिछले अध्याय में हम पढ़ चुके है कि किसी पूर्णांक को दूसरे पूर्णांक से विभाजित करने पर भागफल, शेषफल प्राप्त होते है। 

इनमें निम्न सम्बन्ध होता है।

भाज्य-भाजक भागफल+शेषफल

यहाँ हम पढ़ेंगे कि बहुपदों का विभाजन भी इसी प्रकार किया जा सकता है एक बहुपद से दूसरे बहुपद को विभाजित (भाग) करते है तब यदि शेषफल शून्य हो जाये या शेषफल की घात भाजक की घात से कम रह जाये तो हम भाग की प्रक्रिया रोक देते हैं। इस विधि को ही विभाजन एल्गोरिथम या कलन विधि कहते हैं।


द्विघात समीकरण का मानक रूप


अध्याय के प्रारम्भ में हमने द्विघात बहुपद के बारे में पढ़ा । 
व्यापक रूप में (x)= ar+bx + c, a°0 बहुपद, द्विघात बहुपद का मानक रूप है। हमने द्विघात बहुपद (x) = ar'+by+c के शून्यकों के बारे में पढ़ा। हम जानते हैं कि शून्यकों पर बहुपद का मान शून्य होता है। इस तथ्य को हम निम्न प्रकार व्यक्त कर सकते हैं।

यदि/() एक द्विघात बहुपद है तो (x)=0 एक द्विघात समीकरण कहलाता है अर्थात् a+br+c=0, एक द्विघात समीकरण है 
जहाँ a, b,c वास्तविक संख्याएँ हैं

तथा a 2 0 यदि / (x) के पदों को घातों के घटते क्रम में व्यवस्थित करें तो /(r) = 0 अर्थात ax + br + c= 0, 4 # 0 द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है।